미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

거리 조건과 미분계수

문제

양의 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수 f(x)f ( x )가 x=1x = 1에서 미분가능하다. 11보다 큰 모든 실수 aa에 대하여 점 (1,f(1))( 1 , f ( 1 ) )과 점 (a,f(a))( a , f ( a ) )사이의 거리가 a2−1a ^{2} - 1일 때, f′(1)f' ( 1 )의 값은? [4점]

①11②52\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}③62\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}④2\displaystyle \sqrt{2}⑤3\displaystyle \sqrt{3}

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⑤

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해설

x>1x > 1일 때 (x−1)2+{f(x)−f(1)}2=x2−1\displaystyle \sqrt{( x - 1 ) ^{2} + \left\{ f ( x ) - f ( 1 ) \right\} ^{2}} = x ^{2} - 1에서 f(x)−f(1)=(x−1)x(x+2)\displaystyle f ( x ) - f ( 1 ) = ( x - 1 ) \sqrt{x ( x + 2 )}이므로 ∴\thereforef′(1)=lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1x(x+2)=3\displaystyle f' ( 1 ) = \lim\limits _{x\rightarrow 1} \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = \lim\limits _{x\rightarrow 1} \sqrt{x ( x + 2 )} = \sqrt{3}

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#미분계수#거리

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