거리 제곱합 조건 최대최소

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소를 이해하여 문제해결하기 주어진 조건 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} ^{2} + \overline{PB} ^{2} = 4$를 만족하는 점 $\mathrm{P}$는 원 $x ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 1$ 위의 점이고 $y$의 범위는 $0 \leq y \leq 2$이다. 그러므로 $y - x ^{2} = y - \left\{ 1 - ( y - 1 ) ^{2} \right\}$ $= y ^{2} - y$ $\displaystyle = \left( y - \frac{1}{2} \right) ^{2} - \frac{1}{4}$ ($0 \leq y \leq 2$) 에서 $y - x ^{2}$은 $y = 2$일 때, 최댓값 $2$를 갖고 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$일 때, 최솟값 $\displaystyle - \frac{1}{4}$을 갖는다. 따라서 $y - x ^{2}$의 최댓값과 최솟값의 합은 $\displaystyle \frac{7}{4}$이다.