공통수학2평면좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

거리 제곱 최솟값

문제

좌표평면 위에 두 점 A(2t,−3)\mathrm{A} \left( \mathit{2} t , - 3 \right), B(−1,2t)\mathrm{B} \left( \mathit{-} 1 , 2 t \right)가 있다. 선분 AB\mathrm{AB}의 길이를 ll이라 할 때, 실수 tt에 대하여 l2l ^{2}의 최솟값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소를 활용하여 문제 해결하기 두 점 A(2t,−3)\mathrm{A} \mathit{\left( 2 t , - 3 \right)}과 B(−1,2t)\mathrm{B} \mathit{\left( - 1 , 2 t \right)}에 대하여 ll=(−1−2t)2+{2t−(−3)}2\displaystyle = \mathit{\sqrt{\left( - 1 - 2 t \right) ^{2} + \left\{ 2 t - \left( - 3 \right) \right\} ^{2}}}=8t2+16t+10\displaystyle = \sqrt{8 t ^{2} + 16 t + 10} l2=8t2+16t+10=8(t+1)2+2l ^{2} = \mathit{8} t ^{2} + 16 t + 10 = 8 \left( t + 1 \right) ^{2} + 2 따라서 t=−1t = - 1일 때, l2l ^{2}의 최솟값은 22

태그

#두 점 사이의 거리#이차함수 최솟값

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