미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

거리 변화율

문제

그림과 같이 두 정점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q} 사이의 거리가 3m3 \mathrm{m}이고, 점 Q\mathrm{Q}를 지나고 선분 PQ\mathrm{PQ}에 수직인 직선을 ll이라 하자. 점 A\mathrm{A}가 점 Q\mathrm{Q}에서 출발하여 직선 ll을 따라 초속 1m1 \mathrm{m}의 일정한 속력으로 움직일 때, 직선 ll 위의 점 B\mathrm{B}는 AP‾+PB‾=20(m)\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} + \overline{PB} = 20 \left( \mathrm{m} \right)을 만족시키며 점 Q\mathrm{Q}쪽으로 움직이고 있다. AQ‾=4(m)\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = 4 \left( m \right)가 되는 순간, 선분 BQ\mathrm{BQ}의 길이(m)\left( \mathrm{m} \right)의 시간(초)에 대한 변화율은? [4점]

3m3 \mathrm{m}

①−63\displaystyle - \frac{\sqrt{6}}{3}②−64\displaystyle - \frac{\sqrt{6}}{4}③−33\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{3}④−34\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{4}⑤−66\displaystyle - \frac{\sqrt{6}}{6}

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①

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해설

[출제의도] 미분법을 활용하여 문제해결하기 BQ‾=x\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = \mathit{x}, AQ‾=y\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = \mathit{y}라 하면 x2+9+y2+9=20\displaystyle \sqrt{x ^{2} + 9} + \sqrt{y ^{2} + 9} = 20 ⋯⋯㉠\cdots \cdots \text{㉠} ㉠\text{㉠}의 양변을 시간 tt에 대하여 미분하면 2x2x2+9⋅dxdt+2y2y2+9⋅dydt=0\displaystyle \frac{2 x}{2 \sqrt{x ^{2} + 9}} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{2 y}{2 \sqrt{y ^{2} + 9}} \cdot \frac{dy}{dt} = 0 y=4y = 4일 때 x=66\displaystyle x = 6 \sqrt{6}이고, dydt=1\displaystyle \frac{dy}{dt} = 1이므로 6615⋅dxdt+45=0\displaystyle \frac{6 \sqrt{6}}{15} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{4}{5} = 0에서 dxdt=−63\displaystyle \frac{dx}{dt} = - \frac{\sqrt{6}}{3} 따라서 구하는 변화율은 −63\displaystyle - \frac{\sqrt{6}}{3}

태그

#변화율#합성함수의 미분

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