건설비용이 같은 지점

[출제의도] 두 점 사이의 거리를 이용하여 실생활 문제해결하기

위 그림과 같이 두 지점 $\mathrm{A} , C$를 지나는 직선을 $x$축으로 하고, 지점 $\mathrm{B}$를 지나면서 $x$축에 수직인 직선을 $y$축이라 하면, 각 지점 $\mathrm{A} , B , C$의 좌표는 $\mathrm{A} \left( - 12 , 0 \right)$, $\mathrm{B} \left( 0 , 6 \right)$, $\mathrm{C} \left( 3 , 0 \right)$이다. 이때, 구하는 $\mathrm{D}$지점의 좌표를 $\mathrm{D} \mathit{\left( a , b \right)}$라 하자. 동일평면 위의 $\mathrm{A} , B , C$ 각 지점에서 $\mathrm{D}$지점까지의 각각의 직선 도로 건설비용이 모두 같다고 하였으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{CD}} = 4 : 2 : 1$임을 알 수 있다. ⅰ) $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{BD}} = 4 : 2 = 2 : 1$에서 $\displaystyle 2 \overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{AD}}$ 즉, $\displaystyle 4 {\overline{\mathrm{BD} \mathit{}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2}$ ⇔ $4 \left\{ a ^{2} + \left( b - 6 \right) ^{2} \right\} = \left( a + 12 \right) ^{2} + b ^{2}$ ⇔ $a ^{2} - 8 a + b ^{2} - 16 b = 0 \cdots \cdots \cdots \cdots \text{①}$ ⅱ) $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{CD}} = 2 : 1$에서 $\displaystyle 2 \overline{\mathrm{CD}} = \overline{\mathrm{BD}}$ 즉, $\displaystyle 4 {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{BD}}} ^{2}$ ⇔ $4 \left\{ \left( a - 3 \right) ^{2} + b ^{2} \right\} = a ^{2} + \left( b - 6 \right) ^{2}$ ⇔ $a ^{2} - 8 a + b ^{2} + 4 b = 0 \cdots \cdots \cdots \cdots \text{ ②}$ ①, ②를 연립하여 풀면, $( a , b ) = \left( 0 , 0 \right) , \left( 8 , 0 \right)$이다. 그러므로 두 지점의 좌표는 $\left( 0 , 0 \right) , \left( 8 , 0 \right)$이다. 따라서 두 지점 사이의 거리는 $8 \mathrm{km}$이다. ∴ $x = 8$