거짓인 명제

[출제의도] ‘모든’이 포함된 명제와 관련된 문제를 해결한다. 명제 ‘모든 실수 $x$에 대하여 $2 x ^{2} + 6 x + a {\geq} 0$이다.’ 가 거짓이면 이 명제의 부정 ‘어떤 실수 $x$에 대하여 $2 x ^{2} + 6 x + a < 0$이다.’ 는 참이다. 따라서 이차함수 $y = 2 x ^{2} + 6 x + a$의 그래프와 $x$축이 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.

이차방정식 $2 x ^{2} + 6 x + a = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 3 ^{2} - 2 a > 0$에서 $\displaystyle a < \frac{9}{2}$ 따라서 정수 $a$의 최댓값은 $4$이다.