거짓인 두 명제

[출제의도] 명제의 참, 거짓을 이용하여 미지수의 값을 추론한다. 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자. 조건 $p$에서 $\left| x - k \right| {\leq} 2$, $k - 2 {\leq} x {\leq} k + 2$ 이므로 $P$$= \left\{ x | k - 2 {\leq} x {\leq} k + 2 \right\}$ 조건 $q$에서 $x ^{2} - 4 x - 5 {\leq} 0$, $( x + 1 ) ( x - 5 ) {\leq} 0$ $- 1 {\leq} x {\leq} 5$ 이므로 $Q$$= \left\{ x | - 1 {\leq} x {\leq} 5 \right\}$ 이고 이때 $Q ^{C}$$= \left\{ x | x < \mathit{-} 1 \right.$ 또는 $x > 5 \}$ 이다. 명제 $p \rightarrow q$와 명제 $p \rightarrow \sim q$가 모두 거짓이므로 $P Q$이고 $P Q ^{C}$ 즉, $P \cap Q ^{C} \ne \emptyset$이고 $P {\cap} Q \ne \emptyset$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이어야 한다. $k - 2 \geq - 1$이고 $k + 2 \leq 5$, 즉 $1 \leq k \leq 3$이면 $P \subset Q$가 되어 조건을 만족시키지 않으므로 다음과 같이 $k$의 범위를 나누어 생각하자. (ⅰ) $k < 1$인 경우 ㉠에서 $P {\cap} Q \ne \emptyset$이므로 [그림 1]과 같이 $- 1 \leq k + 2$, 즉 $k {\geq - 3}$ $\cdots \cdots$ ㉡

[그림 1]

$P \cap Q ^{C} \ne \emptyset$이므로 [그림 2]와 같이 $k - 2 < \mathit{-} 1$, 즉 $k < 1$ $\cdots \cdots$ ㉢

[그림 2]

㉡, ㉢에서 $- 3 {\leq} k < 1$이고 이 부등식을 만족시키는 정수 $k$의 값은 $- 3$, $- 2$, $- 1$, $0$이다. (ⅱ) $k > 3$인 경우 ㉠에서 $P {\cap} Q \ne \emptyset$이므로 [그림 3]과 같이 $k - 2 \leq 5$, 즉 $k \leq 7$ $\cdots \cdots$ ㉣

[그림 3]

$P \cap Q ^{C} \ne \emptyset$이므로 [그림 4]와 같이 $5 < k + 2$, 즉 $k > 3$ $\cdots \cdots$ ㉤

[그림 4]

㉣, ㉤에서 $3 < k {\leq} 7$이고 이 부등식을 만족시키는 정수 $k$의 값은 $4$, $5$, $6$, $7$이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 조건을 만족시키는 정수 $k$의 값은 $- 3$, $- 2$, $- 1$, $0$, $4$, $5$, $6$, $7$이고 그 합은 $- 3 - 2 - 1 + 0 + 4 + 5 + 6 + 7$$= 16$