대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

거듭제곱의 자리수

문제

두 자연수 xx, yy에 대하여 x8{x} ^{8}은 25자리의 수, y5{y} ^{5}은 16자리의 수일 때, xyx y는 nn자리의 수가 된다. 이 때, nn의 값은? [3점] ①44②55③66④77⑤88

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④

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해설

[출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 이해하고 이를 활용하기 24≤log⁡10x8<2524 \leq \log _{10} x ^{8} < 25이므로 3≤log⁡10x<258=3.125\displaystyle 3 \leq \log _{10} x < \frac{25}{8} = 3.125 15≤log⁡10y5<1615 \leq \log _{10} y ^{5} < 16이므로 3≤log⁡10y<165=3.2\displaystyle 3 \leq \log _{10} y < \frac{16}{5} = 3.2 6≤log⁡10x+log⁡10y<6.3256 \leq \log _{10} x + \log _{10} y < 6.325 ∴xy\therefore xy는 7자리의 자연수

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