거듭제곱근의 개수

[출제의도] 거듭제곱근의 뜻을 이해하고 있는가? $m ^{12}$의 $n$제곱근은 $x$에 대한 방정식 $x ^{n} = m ^{12}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 의 근이다. 이때, $m$의 값에 따라 ㉠의 방정식이 정수근을 갖도록 하는 $2$ 이상의 자연수 $n$의 개수를 구하면 다음과 같다. (ⅰ) $m = 2$일 때, ㉠의 방정식은 $x ^{n} = 2 ^{12}$ 이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2 , 3 , 4 , 6 , 12$ $f \left( 2 \right) = 5$ (ⅱ) $m = 3$일 때, ㉠의 방정식은 $x ^{n} = 3 ^{12}$ 이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2 , 3 , 4 , 6 , 12$ $f \left( 3 \right) = 5$ (ⅲ) $m = 4$일 때, ㉠의 방정식은 $x ^{n} = 4 ^{12}$ 즉, $x ^{n} = 2 ^{24}$ 이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24$ 이므로 $f \left( 4 \right) = 7$ (ⅳ) $m = 5$일 때, ㉠의 방정식은 $x ^{n} = 5 ^{12}$ 이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2 , 3 , 4 , 6 , 12$ $f \left( 5 \right) = 5$ (ⅴ) $m = 6$일 때, ㉠의 방정식은 $x ^{n} = 6 ^{12}$ 이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2 , 3 , 4 , 6 , 12$ $f \left( 6 \right) = 5$ (ⅵ) $m = 7$일 때, ㉠의 방정식은 $x ^{n} = 7 ^{12}$ 이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2 , 3 , 4 , 6 , 12$ $f \left( 7 \right) = 5$ (ⅶ) $m = 8$일 때, ㉠의 방정식은 $x ^{n} = 8 ^{12}$ 즉, $x ^{n} = 2 ^{36}$ 이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 , 36$ 이므로 $f \left( 8 \right) = 8$ (ⅷ) $m = 9$일 때, ㉠의 방정식은 $x ^{n} = 9 ^{12}$ 즉, $x ^{n} = 3 ^{24}$ 이 방정식의 근 중 정수가 존재하기 위한 $n$의 값은 $2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24$ 이므로 $f \left( 9 \right) = 7$ 따라서, $\displaystyle \sum\limits _{m = 2} ^{9} f \left( m \right)$$= f \left( 2 \right) + f \left( 3 \right) + \cdots + f \left( 9 \right)$ $= 5 + 5 + 7 + 5 + 5 + 5 + 8 + 7$ $= 5 \times 5 + 7 \times 2 + 8$ $= 47$