거듭제곱근이 자연수일 조건

[출제의도] 이해능력-지수와 로그 $\displaystyle a = \sqrt[3]{2} = 2 ^{\frac{1}{3}}$, $\displaystyle b = \sqrt[4]{9} = 3 ^{\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt[10]{( ab ^{2} ) ^{n}} = a ^{\frac{n}{10}} b ^{\frac{n}{5}} = \left( 2 ^{\frac{1}{3}} \right) ^{\frac{n}{10}} \left( 3 ^{\frac{1}{2}} \right) ^{\frac{n}{5}} = 2 ^{\frac{n}{30}} 3 ^{\frac{n}{10}}$이 자연수가 되기 위해서는 $\displaystyle \frac{n}{30}$, $\displaystyle \frac{n}{10}$이 모두 자연수이어야 하므로 $n = 30 k$($k$는 자연수)이어야 한다. 따라서 구하는 자연수 $n$의 최솟값은 30이다.