거듭제곱근이 되는 조건

$\displaystyle \left( \sqrt[3]{3 ^{5}} \right) ^{\frac{1}{2}} = \left( 3 ^{\frac{5}{3}} \right) ^{\frac{1}{2}} = 3 ^{\frac{5}{6}}$ 이때, $\displaystyle 3 ^{\frac{5}{6}} = ( 3 ^{5} ) ^{\frac{1}{6}} = ( 3 ^{10} ) ^{\frac{1}{12}} = ( 3 ^{15} ) ^{\frac{1}{18}} = \cdots = ( 3 ^{80} ) ^{\frac{1}{96}}$이므로 $\displaystyle ( \sqrt[3]{3 ^{5}} ) ^{\frac{1}{2}}$은 $3 ^{5}$의 $6$제곱근, $3 ^{10}$의 $12$제곱근, $3 ^{15}$의 $18$제곱근, ⋯, $3 ^{80}$의 $96$제곱근과 같다. 따라서 구하는 $n$은 $6 , 12 , 18 , \cdots , 96$이므로 $16$개이다. [다른 풀이] $\displaystyle N = \left( \left( \sqrt[3]{3 ^{5}} \right) ^{\frac{1}{2}} \right) ^{n} = 3 ^{\frac{5}{6} n}$ 여기서 $N$이 자연수이려면 $\displaystyle \frac{5}{6} n$은 $0$ 이상의 정수이어야 한다. $\therefore n = 6 k ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots , 16 )$ 따라서 $16$개이다.