대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

거듭제곱근과 가우스 기호

문제

거듭제곱근에 대한 설명 중 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? (단, [x][ x ]는 xx를 넘지 않는 최대 정수이다.) [4점] [보 기] ㄱ. 534=57\displaystyle \sqrt[4]{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[7]{5} ㄴ. [13]+[23]+[33]+⋯+[363]=75\displaystyle \left[ \sqrt[3]{1} \right] + \left[ \sqrt[3]{2} \right] + \left[ \sqrt[3]{3} \right] + \cdots + \left[ \sqrt[3]{36} \right] = 75 ㄷ. [a]+[10−a]=[10]\displaystyle \left[ \sqrt{a} \right] + \left[ \sqrt{10 - a} \right] = \left[ \sqrt{10} \right]을 만족하는 자연수 aa는 5개이다.

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

[출제의도] 거듭제곱근의 뜻과 성질 이해하기 ㄱ. 534=512≠57\displaystyle \sqrt[4]{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[12]{5} \ne \sqrt[7]{5}(거짓) ㄴ. 1≤n<81 \leq n < 8이면 [n3]=1\displaystyle [ \sqrt[3]{n} ] = 1 8≤n<278 \leq n < 27이면 [n3]=2\displaystyle [ \sqrt[3]{n} ] = 2 27≤n≤3627 \leq n \leq 36이면 [n3]=3\displaystyle [ \sqrt[3]{n} ] = 3 [13]+[23]+[33]+⋯+[363]\displaystyle \left[ \sqrt[3]{1} \right] + \left[ \sqrt[3]{2} \right] + \left[ \sqrt[3]{3} \right] + \cdots + \left[ \sqrt[3]{36} \right] =1×7+2×19+3×10=75= 1 \times 7 + 2 \times 19 + 3 \times 10 = 75 (참) ㄷ. 1≤a≤101 \leq a \leq 10이면 1≤[a]≤3\displaystyle 1 \leq [ \sqrt{a} ] \leq 3이다. [10]=3\displaystyle [ \sqrt{10} ] = 3이므로 (ⅰ) [a]=1\displaystyle [ \sqrt{a} ] = 1, [10−a]=2\displaystyle [ \sqrt{10 - a} ] = 2인 경우 [a]=1\displaystyle [ \sqrt{a} ] = 1이면 1≤a<2\displaystyle 1 \leq \sqrt{a} < 2이므로 1≤a<41 \leq a < 4 [10−a]=2\displaystyle [ \sqrt{10 - a} ] = 2이면 2≤10−a<3\displaystyle 2 \leq \sqrt{10 - a} < 3이므로 1<a≤61 < a \leq 6 ∴ 1<a<41 < a < 4에서 a=2a = 2, 33 (ⅱ) [a]=2\displaystyle [ \sqrt{a} ] = 2, [10−a]=1\displaystyle [ \sqrt{10 - a} ] = 1인 경우 같은 방법으로 6<a<96 < a < 9 ∴ a=7a = 7, 88 (ⅲ) [a]=3\displaystyle [ \sqrt{a} ] = 3, [10−a]=0\displaystyle [ \sqrt{10 - a} ] = 0인 경우 같은 방법으로 9<a≤109 < a \leq 10 ∴ a=10a = 10 따라서, (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 a=2a = 2, 33, 77, 88, 1010이다. (참)

태그

#거듭제곱근#가우스 기호#보기

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