거듭제곱근 유리수 조건

[출제의도] 거듭제곱근의 성질 이해하기 $\displaystyle \begin{aligned} \frac{\sqrt[n]{2 ^{18}}}{\sqrt[n]{3 ^{24}}} & = \sqrt[n]{\frac{2 ^{18}}{3 ^{24}}} = \sqrt[n]{\frac{\left( 2 ^{3} \right) ^{6}}{\left( 3 ^{4} \right) ^{6}}} = \sqrt[n]{\left( \frac{8}{81} \right) ^{6}} \end{aligned}$의 값이 유리수가 되려면 $n$이 $6$의 약수인 $1 , 2 , 3 , 6$이어야 한다. 그러므로 $n$은 $2 , 3 , 6 ( \because n \geq 2 )$ [별해] $\displaystyle \sqrt[n]{2 ^{18}} = 2 ^{\frac{18}{n}}$, $\displaystyle \sqrt[n]{3 ^{24}} = 3 ^{\frac{24}{n}}$이므로 $n$은 $18$과 $24$의 공약수이고, $n \geq 2$이므로, $n = 2$, $3$, $6$이다.