거듭제곱근 실근의 곱

(ⅰ) $n$이 짝수일 때 $\left( x ^{n} - 8 \right) \left( x ^{2 n} - 8 \right) = 0$의 실근은 $\displaystyle x = \pm \sqrt[n]{8}$ 또는 $\displaystyle x = \pm \sqrt[2 n]{8}$ 모든 실근의 곱이 양수이므로 모순 (ⅱ) $n$이 홀수일 때 $\left( x ^{n} - 8 \right) \left( x ^{2 n} - 8 \right) = 0$의 실근은 $\displaystyle x = \sqrt[n]{8}$ 또는 $\displaystyle x = \pm \sqrt[2 n]{8}$ 모든 실근의 곱은 $\displaystyle 2 ^{\frac{3}{n}} \times 2 ^{\frac{3}{2 n}} \times \left( - 2 ^{\frac{3}{2 n}} \right) = - 2 ^{\frac{6}{n}} = - 4$ $\displaystyle 2 ^{\frac{6}{n}} = 2 ^{2}$, $\displaystyle \frac{6}{n} = 2$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $n = 3$