거듭제곱근 조건 순서쌍

조건 (가)에서 $\displaystyle \left( \sqrt[3]{a} \right) ^{m} = a ^{\frac{m}{3}} = b$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \left( \sqrt{b} \right) ^{n} = b ^{\frac{n}{2}} = c$ 조건 (다)에서 $c ^{4} = a ^{12}$ $\displaystyle c ^{4} = \left( b ^{\frac{n}{2}} \right) ^{4} = \left( a ^{\frac{m}{3}} \right) ^{2 n} = a ^{\frac{2 mn}{3}} = a ^{12}$ $\displaystyle \frac{2 mn}{3} = 12$, $mn = 18$ 조건을 만족시키는 순서쌍 $( m , n )$은 $( 2 , 9 ) , ( 3 , 6 ) , ( 6 , 3 ) , ( 9 , 2 )$이므로 모든 순서쌍 $( m , n )$의 개수는 $4$이다.