거듭제곱근 조건

[출제의도] 지수법칙을 활용하여 추론하기 (ⅰ) $\displaystyle \sqrt{\frac{2 ^{a} \times 5 ^{b}}{2}} = 2 ^{\frac{a - 1}{2}} \times 5 ^{\frac{b}{2}}$이 자연수이므로 $a - 1 = 2 m$, $a = 2 m + 1$($m$은 음이 아닌 정수) $a = 1$, $3$, $5$, $\cdots$ $b = 2 n$($n$은 자연수) $b = 2$, $4$, $6$, $\cdots$ (ⅱ) $\displaystyle \sqrt[3]{\frac{3 ^{b}}{2 ^{a + 1}}} = \frac{3 ^{\frac{b}{3}}}{2 ^{\frac{a + 1}{3}}}$이 유리수이므로 $a + 1 = 3 k$, $a = 3 k - 1$($k$는 자연수) $a =$$2$, $5$, $8$, $\cdots$ $b = 3 l$($l$은 자연수) $b =$$3$, $6$, $9$, $\cdots$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a$의 최솟값은 $5$, $b$의 최솟값은 $6$ 따라서 $a + b$의 최솟값은 $11$