거듭제곱근 집합 보기

[출제의도] 거듭제곱근의 정의를 이용하여 명제의 참, 거짓 추론하기 집합 $X$의 원소는 $b$의 $a$제곱근 중에서 실수인 것들이다. $a = 3$일 때, $\displaystyle \sqrt[3]{- 9} , \sqrt[3]{- 3} , \sqrt[3]{3} , \sqrt[3]{9}$이고 $a = 4$일 때, $\displaystyle \pm \sqrt[4]{3} , \pm \sqrt[4]{9}$이므로 집합 $X$를 구하면 $\displaystyle X = \left\{ \sqrt[3]{- 9} , \sqrt[3]{- 3} , \sqrt[3]{3} , \sqrt[3]{9} , - \sqrt{3} , - \sqrt[4]{3} , \sqrt[4]{3} , \sqrt{3} \right\}$ 이다. ㄱ. $\displaystyle \sqrt[3]{- 9} \in X$ (참) ㄴ. 집합 $X$의 원소의 개수는 $8$이다. (참) ㄷ. 집합 $X$의 원소 중 양수인 것은 $\displaystyle \sqrt[3]{3} , \sqrt[3]{9} , \sqrt[4]{3} , \sqrt{3}$이므로 모든 원소의 곱의 값은 $\displaystyle 3 ^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = 3 ^{\frac{7}{4}} = \sqrt[4]{3 ^{7}}$이다. (참)