거듭제곱근 자연수

$\displaystyle \left( \sqrt{2 \sqrt[3]{4}} \right) ^{n} = 2 ^{\frac{5 n}{6}}$이 자연수가 되도록 하는 자연수 $n$은 $6$의 배수이다. $n = 6$일 때, $2 ^{5} = 32$ $n = 12$일 때, $\left( 2 ^{5} \right) ^{2} = 2 ^{10} = 1024$ $n = 18$일 때, $\left( 2 ^{5} \right) ^{3} = 2 ^{15} = 32768$ $\vdots$ $\displaystyle \left( \sqrt{2 \sqrt[3]{4}} \right) ^{n} = 2 ^{\frac{5 n}{6}}$이 네 자리 자연수가 되어야 하므로 $n = 12$