거듭제곱근 자연수

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 자연수의 값의 합을 구한다. 지수법칙을 이용하여 식을 정리하면 $\displaystyle \left( a ^{\frac{2}{3}} \right) ^{\frac{1}{2}}$$\displaystyle = a ^{\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}}$$\displaystyle = a ^{\frac{1}{3}}$이다. $\displaystyle a ^{\frac{1}{3}}$의 값이 자연수가 되기 위해서는 자연수 $a$를 어떤 자연수의 세제곱 꼴로 나타낼 수 있어야 한다. $1 ^{3} = 1$, $2 ^{3} = 8$, $3 ^{3} = 27$, … 이고 $a$는 $10$ 이하의 자연수이므로 $\displaystyle a ^{\frac{1}{3}}$의 값이 자연수가 되는 $a$의 값은 $1$, $8$이다. 따라서 모든 $a$의 값의 합은 $1 + 8$$= 9$이다.