거듭제곱근 개수

[출제의도] 거듭제곱근 이해학기 $2$이상의 자연수 $n$에 대하여 $\left( 2 n - 5 \right) \left( 2 n - 9 \right)$의 $n$제곱근 중에서 실수인 것을 $x$라 하면 (ⅰ) $n$이 홀수인 경우 $\displaystyle x = \sqrt[n]{\left( 2 n - 5 \right) \left( 2 n - 9 \right)}$이므로 $f \left( n \right) = 1$ (ⅱ) $n$이 짝수인 경우 $\left( 2 n - 5 \right) \left( 2 n - 9 \right) < 0$이면 실수 $x$는 존재하지 않으므로 $\displaystyle \frac{5}{2} < n < \frac{9}{2}$인 짝수 $n$에 대하여 $f \left( n \right) = 0$ $\left( 2 n - 5 \right) \left( 2 n - 9 \right) > 0$이면 $\displaystyle x = \sqrt[n]{\left( 2 n - 5 \right) \left( 2 n - 9 \right)}$ 또는 $\displaystyle x = - \sqrt[n]{\left( 2 n - 5 \right) \left( 2 n - 9 \right)}$이므로 $\displaystyle n < \frac{5}{2}$ 또는 $\displaystyle n > \frac{9}{2}$인 짝수 $n$에 대하여 $f \left( n \right) = 2$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $2 \leq n \leq 8$인 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle f \left( n \right) = {\begin{cases} 0 & \left( n = 4 \right) \\ \begin{aligned} 1 \\ 2 \end{aligned} & \begin{aligned} \left( n = 3 , 5 , 7 \right) \\ \left( n = 2 , 6 , 8 \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{8} f \left( n \right) = 0 \times 1 + 1 \times 3 + 2 \times 3 = 9$