거듭제곱근 개수

[출제의도] 거듭제곱근의 정의를 이용하여 수열의 합 문제 해결하기 두 함수 $y = \left( x + 2 \right) ^{2}$$\left( x \geq - 2 \right)$, $y = n$의 그래프는 다음과 같다.

(ⅰ) $n = 2$, $3$일 때, $a _{n} < 0$이므로 $F ( 2 ) = 0$, $F ( 3 ) = 1$이다. (ⅱ) $n = 4$일 때, $a _{n} = 0$이므로 $F ( 4 ) = 1$이다. (ⅲ) $n \geq 5$일 때, $a _{n} > 0$ ① $5$이상인 홀수 $n$에 대하여, $n$제곱하여 양수 $a _{n}$이 되는 실수는 $\displaystyle \sqrt[n]{a _{n}}$이므로 $F \left( 5 \right) = F \left( 7 \right) = F \left( 9 \right) = \cdots = F \left( 19 \right) = 1$이다. ② $6$이상인 짝수 $n$에 대하여, $n$제곱하여 양수 $a _{n}$이 되는 실수는 $\displaystyle \sqrt[n]{a _{n}}$, $\displaystyle - \sqrt[n]{a _{n}}$이므로 $F \left( 6 \right) = F \left( 8 \right) = F \left( 10 \right) = \cdots = F \left( 20 \right) = 2$이다. $\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 2} ^{20} F ( n )$$= 0 + 1 + 1 + \left( 1 \times 8 \right) + \left( 2 \times 8 \right) = 26$