거듭제곱근 개수

$2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $- \left( n - k \right) ^{2} + 8$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수는 $f \left( n \right)$이다. $n$이 홀수이면 $f \left( n \right) = 1$ $\therefore$ $f \left( 3 \right) = f \left( 5 \right) = f \left( 7 \right) = 1$ $f \left( 3 \right) + f \left( 4 \right) + f \left( 5 \right) + f \left( 6 \right) + f \left( 7 \right) = 7$이므로 $f \left( 4 \right) + f \left( 6 \right) = 4$ $\therefore$ $f \left( 4 \right) = f \left( 6 \right) = 2$ $- \left( 4 - k \right) ^{2} + 8$의 네제곱근 중 실수인 것의 개수는 $2$이므로 $- \left( 4 - k \right) ^{2} + 8 > 0$, $k ^{2} - 8 k + 8 < 0$ $\displaystyle 4 - 2 \sqrt{2} < k < 4 + 2 \sqrt{2}$ $- \left( 6 - k \right) ^{2} + 8$의 여섯제곱근 중 실수인 것의 개수는 $2$이므로 $- \left( 6 - k \right) ^{2} + 8 > 0$, $k ^{2} - 12 k + 28 < 0$ $\displaystyle 6 - 2 \sqrt{2} < k < 6 + 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle 4 - 2 \sqrt{2} < k < 4 + 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle 6 - 2 \sqrt{2} < k < 6 + 2 \sqrt{2}$에서 $\displaystyle 2 < 2 \sqrt{2} < 3$이므로 $\displaystyle 6 - 2 \sqrt{2} < k < 4 + 2 \sqrt{2}$, $3. \times \times \times < k < 6. \times \times \times$ 자연수 $k$의 값은 $k = 4$ 또는 $k = 5$ 또는 $k = 6$ 이므로 모든 자연수 $k$의 값의 합은 $15$이다.