거듭제곱근 등식

[출제의도] 거듭제곱근의 성질 이해하기 $\displaystyle \left( \frac{\sqrt[6]{5}}{\sqrt[4]{2}} \right) ^{m} \times n = 5 ^{\frac{m}{6}} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{m}{4}} \times n = 5 ^{2} \times 2 ^{2}$에서 $\displaystyle \frac{m}{6}$과 $\displaystyle \frac{m}{4}$이 자연수가 되어야 하므로 $m$은 $12$의 배수이다. (ⅰ) $m = 12$일 때 $\displaystyle 5 ^{\frac{12}{6}} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{12}{4}} \times n = 5 ^{2} \times 2 ^{2}$에서$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} \times n = 2 ^{2}$이므로 $n = 32$이다. (ⅱ) $m \geq 24$일 때 $\displaystyle 5 ^{\frac{m}{6}} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{m}{4}} \times n$$\displaystyle = 5 ^{2} \times 5 ^{\frac{m - 12}{6}} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{m}{4}} \times n$$= 5 ^{2} \times 2 ^{2}$ 에서 $\displaystyle 5 ^{\frac{m - 12}{6}} \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{m}{4}} \times n = 2 ^{2}$이고 $\displaystyle 5 ^{\frac{m - 12}{6}} \times n = 2 ^{\frac{m + 8}{4}}$이므로 이를 만족시키는 자연수 $n$은 존재하지 않는다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $m = 12$, $n = 32$이므로 $m + n = 44$이다.