대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

거듭제곱근 대소 비교

문제

$\displaystyle \sqrt{2 \sqrt{2}}$ , $\displaystyle \sqrt{2 ^{\sqrt{2}}}$ , $\displaystyle ( \sqrt{2} ) ^{\sqrt{2}}$ 의 대소 관계는? [3점] ① $\displaystyle \sqrt{2 \sqrt{2}}$ $<$ $\displaystyle \sqrt{2 ^{\sqrt{2}}}$ $<$ $\displaystyle ( \sqrt{2} ) ^{\sqrt{2}}$ ② $\displaystyle \sqrt{2 \sqrt{2}}$ $<$ $\displaystyle \sqrt{2} ^{\sqrt{2}}$ $=$ $\displaystyle ( \sqrt{2} ) ^{\sqrt{2}}$ ③ $\displaystyle \sqrt{2} ^{\sqrt{2}}$ $=$ $\displaystyle ( \sqrt{2} ) ^{\sqrt{2}}$ $<$ $\displaystyle \sqrt{2 \sqrt{2}}$ ④ $\displaystyle \sqrt{2} ^{\sqrt{2}}$ $<$ $\displaystyle ( \sqrt{2} ) ^{\sqrt{2}}$ $<$ $\displaystyle \sqrt{2 \sqrt{2}}$ ⑤ $\displaystyle ( \sqrt{2} ) ^{\sqrt{2}}$ $<$ $\displaystyle \sqrt{2 \sqrt{2}}$ $<$ $\displaystyle \sqrt{2} ^{\sqrt{2}}$

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③

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해설

$\displaystyle \sqrt{2 ^{\sqrt{2}}} = 2 ^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ , $\displaystyle ( \sqrt{2} ) ^{\sqrt{2}} = 2 ^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ , $\displaystyle \sqrt{2 \sqrt{2}} = 2 ^{\frac{3}{4}}$ ∴ $\displaystyle \sqrt{2 ^{\sqrt{2}}} = ( \sqrt{2} ) ^{\sqrt{2}} < \sqrt{2 \sqrt{2}}$

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