확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

ω 거듭제곱 실수 확률

문제

주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 m,nm , n이라 하고 x3=1x ^{3} = 1의 한 허근을 ω\omega라 하자. ωm+ωn+1\omega ^{m} + \omega ^{n} + 1이 실수가 될 확률이 ba\displaystyle \frac{b}{a}일 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. (단, a,ba , b는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

주사위를 두 번 던질 때, 나온 눈의 순서쌍을 (m,n)( m , n )이라 하자. 순서쌍 (m,n)( m , n )의 개수는 3636이다. ωm+ωn+1\omega ^{m} + \omega ^{n} + 1이 실수가 되기 위해서는 ωm+ωn\omega ^{m} + \omega ^{n}이 실수이어야 한다. ωm+ωn\omega ^{m} + \omega ^{n}이 실수가 되기 위해서는 m+nm + n이 3의 배수가 되어야 한다. 따라서 구하는 순서쌍은 (1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 3), (6, 6) 이고, 순서쌍의 개수는 모두 12개이다. 따라서 구하는 확률은 1236=13\displaystyle \frac{12}{36} = \frac{1}{3}이다. a=3,b=1a = 3 , b = 1이므로 a2+b2=10a ^{2} + b ^{2} = 10이다.

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#확률#복소수

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