거듭제곱 합 등식 증명

다음은 등식 $1 + 2 + 3 + \cdots + 2 n = 1 ^{k} + 2 ^{k} + 3 ^{k} + \cdots + n ^{k}$ 을 만족하는 자연수 $n$,$k$의 값을 구하는 과정이다.

ⅰ) $k = 1$일 때, 임의의 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식은 성립하지 않는다. ⅱ) $k = 2$일 때, $\displaystyle \frac{2 n ( 2 n + 1 )}{2} = \frac{1}{6} n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )$이므로 $n =$(가)

ⅲ) $k \geq 3$일 때, $1 + 2 + 3 + \cdots + 2 n = 1 ^{k} + 2 ^{k} + 3 ^{k} + \cdots + n ^{k}$ $\geq 1 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \cdots + n ^{3}$ 즉, $\displaystyle \frac{2 n ( 2 n + 1 )}{2} \geq \left\{ \frac{n ( n + 1 )}{2} \right\} ^{2}$이므로 $4 ( 2 n + 1 ) \geq$(나)

이 때, $8 ( n + 1 ) > 4 ( 2 n + 1 )$이므로 $8$(다) $n ( n + 1 ) > n ^{2}$ 그러므로, $n \leq 2$일 때만 주어진 등식이 성립할 수 있다. 그런데, $n = 1$이면 등식 $1 + 2 = 1 ^{k}$은 성립하지 않는다. $n = 2$이면 등식 $1 + 2 + 3 + 4 = 1 ^{k} + 2 ^{k}$은 성립하지 않는다. 따라서, ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 주어진 등식을 만족하는 $n$,$k$의 값은 $n =$(가) , $k = 2$뿐이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$5$ $n ( n + 1 ) ^{2}$ >②$5$ $n ^{2} ( n + 1 )$ >③$5$ $n ( n + 1 ) ^{2}$ <④$6$ $n ^{2} ( n + 1 )$ <⑤$6$ $n ( n + 1 ) ^{2}$ >