미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

거듭제곱 대소 비교

문제

다음은 함수의 증가, 감소를 이용하여 두 수 200420052004 ^{2005}와 200520042005 ^{2004}의 대소관계를 알아보는 과정이다. (단, ee는 자연로그의 밑이다.)

함수 f(x)=x1x(x>0)\displaystyle f ( x ) = x ^{\frac{1}{x}} ( x > 0 )에 대하여 x>ex > e일 때 f′(x)□(가)0f' ( x ) {\square {( \text{가} )}} 0 이므로 f(2004)□(나)f ( 2004 ) {\square {( \text{나} )}} f(2005)f ( 2005 ) 따라서 20042005□(다)2004 ^{2005} {\square {( \text{다} )}} 200520042005 ^{2004}

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 부등호를 순서대로 적은 것은? [3점] ①>,>,>> , > , >②>,<,<> , < , <③>,<,>> , < , >④<,>,>< , > , >⑤<,>,<< , > , <

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④

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해설

[출제의도] 로그미분법을 이용하여 함수의 증가ㆍ감소를 알아낼 수 있는가를 묻는 문제이다. f(x)=x1x(x>0)\displaystyle f ( x ) = x ^{\frac{1}{x}} ( x > 0 )의 양변에 로그를 취하면 ln⁡f(x)=ln⁡x1x=1xln⁡x\displaystyle \ln f ( x ) = \ln x ^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \ln x 양변을 미분하면 f′(x)f(x)=1−ln⁡xx2\displaystyle \frac{f' ( x )}{f ( x )} = \frac{1 - \ln x}{x ^{2}} ∴ f′(x)=1−ln⁡xx2x1x\displaystyle {f' ( x )} = \frac{1 - \ln x}{x ^{2}} x ^{\frac{1}{x}} 따라서 x>ex > e일 때 f′(x)<0f' ( x ) < 0 이므로 f(x)f ( x )는 감소한다. ⋯⋯\cdots \cdots(가) ∴\therefore f(2004)>f(2005)f ( 2004 ) > f ( 2005 ) ⋯⋯\cdots \cdots(나) ∴\therefore 20042005>200520042004 ^{2005} > 2005 ^{2004} ⋯⋯\cdots \cdots(다)

태그

#증가 감소#로그미분#빈칸

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