거듭제곱 대소

주어진 조건에서 $a \ne 1 , b \ne 1$이다. 자연수 $n$에 대하여 $a ^{n} < b ^{n}$이므로 $a < b$ $0 < a < b < 1$ 또는 $1 < a < b$일 때, i) $m > n$이면 $a ^{m} > a ^{n}$, $b ^{m} > b ^{n}$이고, ii) $m < n$이면 $a ^{m} < a ^{n}$, $b ^{m} < b ^{n}$이다. 그런데, i), ii)는 모두 주어진 조건에 모순이다. $\therefore$ $0 < a < 1 < b$ 주어진 조건에서 $b ^{n} < b ^{m}$이므로 $n < m$이어야 하고, 이 때 $a ^{m} < a ^{n}$이 성립한다. $\therefore$ $n < m$ 이상에서 $0 < a < 1 < b , m > n$이다.