게임 정규분포 근사

[출제의도] 이항분포를 따르는 확률변수를 설정하고 이항분포와 정규분포사이의 관계를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $180$번의 독립시행에서 당첨금으로 $900$원을 받는 횟수를 $X ,$$100$원을 손해보는 횟수를 $Y$라 하자. 이때, 당첨금으로 $22000$원 이상을 받게 되려면 $\displaystyle \begin{cases} X + Y = 180 \\ 900 X - 100 Y \geq 22000 \end{cases}$이 성립해야 한다. 즉 $x \geq 40$ 여기서 확률변수 $X$의 분포가 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B} \left( 180 , \frac{1}{6} \right)$를 따라고 구하고자 하는 확률은 $\mathrm{P} ( X \geq 40 )$이다. $\displaystyle \mathrm{E} ( \mathit{X} ) = 180 \times \frac{1}{6} = 30$, $\displaystyle \mathrm{V} \mathit{(} X ) = 180 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 5 ^{2}$이고 $n = 180$은 충분히 크므로 확률변수 $X$는 정규분포 $\mathrm{N} ( 30 , 5 ^{2} )$을 근사적으로 따른다. 따라서 $\mathrm{P} ( X \geq 40 )$$\displaystyle = \mathrm{P} \left( Z \geq \frac{40 - 30}{3} \right)$ $= 0.5 - 0.4772 = 0.0228$