가위바위보 사탕

가위바위보를 한 번 할 때, 지호가 사탕을 $2$개 받는 경우는 가위바위보에서 이긴 경우이므로 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$이고 사탕을 $1$개 받는 경우는 가위바위보에서 비기거나 지는 경우이므로 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3}$이다. 게임에서 사탕을 $2$번 받는 횟수를 $a$, $1$번 받는 횟수를 $b$라 할 때, $2 a + b = 5$에서 $( a , b ) = ( 2 , 1 )$, $( 1 , 3 )$, $( 0 , 5 )$이다. ⅰ) $( a , b ) = ( 2 , 1 )$인 경우 확률은 $\displaystyle {}_{3} \mathrm{C} _{2} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{2}{9}$ ⅱ) $( a , b ) = ( 1 , 3 )$인 경우 확률은 $\displaystyle {}_{4} \mathrm{C} _{1} \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) ^{3}$$\displaystyle = \frac{32}{81}$ ⅲ) $( a , b ) = ( 0 , 5 )$인 경우 확률은 $\displaystyle {}_{5} \mathrm{C} _{0} \left( \frac{2}{3} \right) ^{5} = \frac{32}{243}$ ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{2}{9} + \frac{32}{81} + \frac{32}{243} = \frac{182}{243}$ [다른 풀이] 가위바위보를 한 번 할 때, 지호가 사탕을 $2$개 받는 경우는 가위바위보에서 이긴 경우이므로 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$이고 사탕을 $1$개 받는 경우는 가위바위보에서 비기거나 지는 경우이므로 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3}$이다. 지호가 받은 사탕의 총 개수가 $n$개인 경우가 생길 확률을 $a _{n}$이라 할 때, 지호가 받은 사탕의 총 개수가 $n + 2$개인 경우는 사탕을 $n + 1$개 가지고 있는 상태에서 가위바위보에서 비기거나 질 때, 또는 사탕을 $n$개 가지고 있는 상태에서 가위바위보에서 이기는 경우이므로 다음 점화식이 성립한다. $\displaystyle a _{n+2} = \frac{1}{3} a _{n} + \frac{2}{3} a _{n+1}$ $a _{n+2} - a _{n+1}$$\displaystyle = - \frac{1}{3} ( a _{n+1} - a _{n} )$이므로 $\left\{ a _{n+1} - a _{n} \right\}$은 공비가 $\displaystyle - \frac{1}{3}$인 등비수열을 이룬다. $\displaystyle a _{1} = \frac{2}{3}$, $\displaystyle a _{2} = \frac{1}{3} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} = \frac{7}{9}$이므로 $a _{5}$$\displaystyle = a _{1} + \sum\limits _{k=1} ^{4} \left\{ a _{k+1} - a _{k} \right\}$$\displaystyle = \frac{2}{3} + \frac{\frac{1}{9} \left\{ 1 - \left( - \frac{1}{3} \right) ^{4} \right\}}{1 - \left( - \frac{1}{3} \right)}$$\displaystyle = \frac{182}{243}$ ∴ $k = 182$