가우스기호 로그값들의 합

$f ( x )$$= \log _{2} ( x ^{2} + x + 1 ) - \log _{2} x$$\displaystyle = \log _{2} \frac{x ^{2} + x + 1}{x}$ $\displaystyle = \log _{2} \left( x + 1 + \frac{1}{x} \right)$ 에서 $x \geq 1$일 때 $\displaystyle x + 1 + \frac{1}{x} \geq 3$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \log _{2} \left( x + 1 + \frac{1}{x} \right) > 1$ 따라서 $\displaystyle \left[ f ( x ) \right] = \left[ \log _{2} \left( x + 1 + \frac{1}{x} \right) \right] = k$($k$는 자연수)라 하면 $\displaystyle k \leq \log _{2} \left( x + 1 + \frac{1}{x} \right) < k + 1$ $\displaystyle 2 ^{k} \leq x + 1 + \frac{1}{x} < 2 ^{k+1}$ $\displaystyle \therefore 2 ^{k} - 1 \leq x + \frac{1}{x} < 2 ^{k+1} - 1$ $k = 1$일 때, $\displaystyle 1 \leq x + \frac{1}{x} < 3$이므로 자연수 $x$는 $1 , 2$의 $2$개 $k = 2$일 때, $\displaystyle 3 \leq x + \frac{1}{x} < 7$이므로 자연수 $x$는 $3 , 4 , 5 , 6$의 $4$개 $k = 3$일 때, $\displaystyle 7 \leq x + \frac{1}{x} < 15$이므로 자연수 $x$는 $7 , 8 , \cdots , 14$의 $8$개 $\vdots$ $k = 9$일 때, $\displaystyle 511 \leq x + \frac{1}{x} < 1023$이므로 자연수 $x$는 $511 , 512 , \cdots , 1022$의 $512$개 이때, $k = [ f ( x ) ]$이므로 $[ f ( 1 ) ] + [ f ( 2 ) ] + \cdots + [ f ( 1022 ) ]$ $= 1 \times 2 + 2 \times 2 ^{2} + 3 \times 2 ^{3} + \cdots + 9 \times 2 ^{9}$ $S = 1 \times 2 + 2 \times 2 ^{2} + 3 \times 2 ^{3} + \cdots + 9 \times 2 ^{9}$ …… ㉠ 이라 하면 $2 S =$$1 \times 2 ^{2} + 2 \times 2 ^{3} + 3 \times 2 ^{4} + \cdots + 8 \times 2 ^{9} + 9 \times 2 ^{10}$…… ㉡ 이므로 $\text{㉠} - \text{㉡}$을 하면 $- S =$$2 + 2 ^{2} + 2 ^{3} + \cdots + 2 ^{9} - 9 \times 2 ^{10}$$\displaystyle = \frac{2 ( 2 ^{9} - 1 )}{2 - 1} - 9 \times 2 ^{10}$ $\therefore S$$\displaystyle = - \frac{2 ( 2 ^{9} - 1 )}{2 - 1} + 9 \times 2 ^{10}$ $= 9 \times 2 ^{10} - 2 ^{10} + 2$ $= 8 \times 2 ^{10} + 2 = 2 ^{13} + 2$