대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

가우스 수열의 합

문제

자연수 mm에 대하여 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 일반항이 an=[nm]\displaystyle a _{n} = \left[ \frac{n}{m} \right]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [x]\left[ x \right]는 xx _{{} _{{} _{{} _{}}}}보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점] [보 기]

ㄱ. m=2m = 2일 때, a5=2a _{5} = 2이다. ㄴ. m=3m = 3일 때, ∑k=1100ak=1683\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{100} a _{k} = 1683이다. ㄷ. ∑k=1mnak=n(mn−m+2)2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{mn} a _{k} = \frac{n ( mn - m + 2 )}{2}

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 주어진 수열의 특징을 이해하고 합 구하기 ㄱ. m=2m = 2일 때, a5=[52]=2\displaystyle a _{5} = \left[ \frac{5}{2} \right] = 2이다. (참) ㄴ. m=3m = 3일 때, ∑k=1100[k3]=3∑k=132k+33+33=1650\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{100} \left[ \frac{k}{3} \right] = 3 \sum\limits _{k = 1} ^{32} k + 33 + 33 = 1650이다. (거짓) ㄷ. ∑k=1mn[km]=m∑k=1n−1k+n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{mn} \left[ \frac{k}{m} \right] = m \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} k + n=n(mn−m+2)2\displaystyle = \frac{n ( mn - m + 2 )}{2} (참)

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