미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

가우스 함수 회전체 부피

문제

함수 f(x)=[x]+1−(x−[x])2(x≥0)\displaystyle f ( x ) = \sqrt{\left[ x \right] + 1 - ( x - \left[ x \right] ^{} ) ^{2}} ( x \geq 0 )과 직선 x=n−1,x=nx = n - 1 , x = n 및 xx축으로 둘러싸인 도형을 xx축 둘레로 회전시킨 도형의 부피를 VnV _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞∑k=1nVkn2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\sum\limits _{k = 1} ^{n} V _{k}}{n ^{2}}}의 값은? (단, [x]\left[ x \right]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수) [4점] ①π2\displaystyle \frac{\pi}{2}②π\pi③3π2\displaystyle \frac{3 \pi}{2}④2π2 \pi⑤5π2\displaystyle \frac{5 \pi}{2}

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①

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해설

[출제의도] 정적분을 이용하여 회전체의 부피 추론하기 그래프는 (x−[x])2+y2=[x]+1( x - \left[ x \right] ) ^{2} + y ^{2} = \left[ x \right] + 1 이므로 0≤x<10 \leq x < 1이면 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1 1≤x<21 \leq x < 2이면 (x−1)2+y2=2( x - 1 ) ^{2} + y ^{2} = 2 2≤x<32 \leq x < 3이면 (x−2)2+y2=3( x - 2 ) ^{2} + y ^{2} = 3 ⋮\vdots n−1≤x<nn - 1 \leq x < n이면 (x−n+1)2+y2=n( x - n + 1 ) ^{2} + y ^{2} = n

. Vn=π∫n−1n{f(x)}2dx\displaystyle {\mathrm{V}} \mathit{_{n}} = \pi \int _{n - 1} ^{n} {} \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} dx =π∫n−1n(n−(x−n+1)2)dx=(n−13)π\displaystyle = \pi \int _{n - 1} ^{n} {} ( n - ( x - n + 1 ) ^{2} ) dx = \left( n - \frac{1}{3} \right) \pi ∑k=1nVk=∑k=1n(k−13)π\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} {\mathrm{V}} _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( k - \frac{1}{3} \right) \pi=(12n2+16n)π\displaystyle = \left( \frac{1}{2} n ^{2} + \frac{1}{6} n \right) \pi ∴ lim⁡n→∞∑k=1nVkn2=π2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum\limits _{k = 1} ^{n} {\mathrm{V}} _{k}}{n ^{2}} = \frac{\pi}{2}

태그

#회전체의 부피#수열의 극한

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