가우스 함수 합의 불연속점 개수

각각의 항의 함수가 불연속이 되는 $x$의 값은 $y = [ 4 x ]$ : $\displaystyle \frac{1}{4}$, $\displaystyle \frac{2}{4}$, $\displaystyle \frac{3}{4}$, $\displaystyle \frac{4}{4}$, $\displaystyle \frac{5}{4}$, $\cdots$ , $\displaystyle \frac{21}{4}$ -- 21개 $y = [ 6 x ]$ : $\displaystyle \frac{1}{6}$, $\displaystyle \frac{2}{6}$, $\displaystyle \frac{3}{6}$, $\displaystyle \frac{4}{6}$, $\displaystyle \frac{5}{6}$, $\displaystyle \frac{6}{6}$, $\displaystyle \frac{7}{6}$, $\cdots$ , $\displaystyle \frac{29}{6}$ -- 29개 $y$$\displaystyle = \left[ \frac{x}{2} \right]$ : $2$, $4$ -- 2개 $\displaystyle y = \left[ \frac{x}{4} \right]$ : 4 -----1개 서로 다른 점은 39 곳인데, 한 함수만 불연속인 점에서 $f ( x )$는 불연속이다. 이제 두 개 이상의 함수가 공통으로 불연속인 점 $\displaystyle \frac{1}{2}$, $1$, $\displaystyle \frac{3}{2}$, $2$, $\displaystyle \frac{5}{2}$, $3$, $\displaystyle \frac{7}{2}$, $4$, $\displaystyle \frac{9}{2}$ 에 대하여 연속성을 조사한다. (i) $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ : $\displaystyle f ( \frac{1}{2} ) = 2 - 3 + 0 - 0 = - 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow {\frac{1}{2}} -} f ( x ) = 1 - 2 + 0 - 0 = - 1$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow {\frac{1}{2} +}} f ( x ) = 2 - 3 + 0 - 0 = - 1$, 이므로 연속이다. $\displaystyle x = \frac{3}{2}$, $\displaystyle x = \frac{5}{2}$, $\displaystyle x = \frac{7}{2}$, $\displaystyle x = \frac{9}{2}$ 에서도 마찬가지로 연속이다. (ii) $x = 1$ : $f ( 1 ) = 4 - 6 + 0 - 0 = - 2$ $\displaystyle \lim\limits _{x} \rightarrow 1 - f ( x ) = 3 - 5 + 0 - 0 = - 2$, $\displaystyle \lim\limits _{x} \rightarrow 1 + f ( x ) = 4 - 6 + 0 - 0 = - 2$ 이므로 연속이다. $x = 3$에서 마찬가지 방법으로 연속이다. (iii) $x = 2$ : $f ( x ) = 8 - 12 + 1 - 0 = - 3$ $\displaystyle \lim\limits _{x} \rightarrow 2 - f ( x ) = 7 - 11 + 0 - 0 = - 4$, $\displaystyle \lim\limits _{x} \rightarrow 2 + f ( x ) = - 3$ 이므로 불연속이다. (iv) $x = 4$ : $f ( 4 ) = 16 - 24 + 2 - 1 = - 7$ $\displaystyle \lim\limits _{x} \rightarrow 4 - f ( x ) = 15 - 23 + 1 - 0 = - 7$, $\displaystyle \lim\limits _{x} \rightarrow 4 + f ( x ) = - 7$ 이므로 연속이다. $\displaystyle \frac{1}{2}$, $1$, $\displaystyle \frac{3}{2}$, $2$, $\displaystyle \frac{5}{2}$, $3$, $\displaystyle \frac{7}{2}$, $4$, $\displaystyle \frac{9}{2}$ 중에서 연속인 점은 8 곳이므로 함수 $f ( x$)가 불연속인 점은 $39 - 8 = 31$개 이다.