대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

가우스 기호와 상용로그

문제

세 자리의 자연수 NN에 대하여 [log⁡2N]=[log⁡N]+1[ \log 2 \mathit{N} ] = [ \log \mathit{N} ] + 1 이 성립할 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? ( log⁡2=0.3010\log 2 = 0.3010이고 [x][ x ]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

〈 보 기 〉
ㄱ. N2\mathit{N} ^{2}은 항상 66자리의 수이다. ㄴ. N3\mathit{N} ^{3}은 항상 99자리의 수이다. ㄷ. N4\mathit{N} ^{4}은 항상 1212자리의 수이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[log⁡2N]=[log⁡N]+1[ \log 2 N ] = [ \log N ] + 1에서 log⁡2N\log 2 N의 지표가 log⁡N\log N의 지표보다 11만큼 크므로 2N2 N의 자리수가 NN의 자리수보다 11만큼 크다. 즉, 5×102≤N<1035 \times 10 ^{2} \leq N < 10 ^{3} ∴ 2+log⁡5≤log⁡N<32 + \log 5 \leq \log N < 3 ㄱ. 5.3980≤log⁡N2<65.3980 \leq \log N ^{2} < 6에서 log⁡N2\log N ^{2}의 지표는 항상 55이다. ∴ N2N ^{2}은 항상 66자리의 수이다. ㄴ. 8.0970≤log⁡N3<98.0970 \leq \log N ^{3} < 9에서 log⁡N3\log N ^{3}의 지표는 항상 88이다. ∴ N3N ^{3}은 항상 99자리의 수이다. ㄷ. 10.7960≤log⁡N4<1210.7960 \leq \log N ^{4} < 12에서 log⁡N4\log N ^{4}의 지표는 1010또는 1111이다. ∴ N4N ^{4}은 1111자리 또는 1212자리의 수이다. 따라서, 옳은 것은 ㄱ과 ㄴ이다.

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