대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

가우스 기호 수열 합

문제

자연수 nn에 대하여 f(n)=[n4]\displaystyle f ( n ) = \left[ \frac{n}{4} \right]이라 하고, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 a1=a2=a3=0a _{1} = a _{2} = a _{3} = 0, an=∑k=1f(n)k\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{{k} = 1 ^{}} ^{{}^{} f ( n ) _{}} k (단, n=4,5,6,⋯n = 4 , 5 , 6 , \cdots) 으로 정의할 때, ∑n=128an\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1 ^{}} ^{{}^{} 28 _{}} a _{n}의 값은? (단, 실수 xx에 대하여 [x]\left[ x \right]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점] ①204204②212212③220220④224224⑤252252

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⑤

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해설

4m≤n≤4m+34 m \leq n \leq 4 m + 3 (m≥1m \geq 1)일 때, f(n)=[n4]=m\displaystyle f ( n ) = [ \frac{n}{4} ] = m 이므로 an=∑k=1f(n)k=∑k=1mk=m(m+1)2\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{{k} = 1} ^{f ( n )} k = \sum\limits _{{k} = 1} ^{m} k = \frac{m ( m + 1 )}{2} ∑n=128an\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{28} a _{n}=(a1+a2+a3)+∑m=16(a4m+a4m+1+a4m+2+a4m+3)+a4⋅7\displaystyle = ( a _{1} + a _{2} + a _{3} ) + \sum\limits _{{m} = 1 _{}} ^{6 ^{}} ( a _{4m} + a _{4m+1} + a _{4m+2} + a _{4m+3} ) + a _{4 \cdot 7} =(0+0+0)+∑m=164m(m+1)2+7(7+1)2\displaystyle = ( 0 + 0 + 0 ) + \sum\limits _{{m} = 1} ^{6} {\frac{4 m ( m + 1 )}{2}} + \frac{7 ( 7 + 1 )}{2} =2×6×7×83+28\displaystyle = 2 \times \frac{6 \times 7 \times 8}{3} + 28 =252= 252

태그

#가우스 기호#시그마

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