대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

가우스 기호 수열 합

문제

자연수nn에 대하여f(n)=[n4]\displaystyle f ( n ) = \left[ \frac{n}{4} \right]이라 하고, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 a1=a2=a3=0a _{1} = a _{2} = a _{3} = 0, an=∑k=1f(n)k\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{{k} = 1 ^{}} ^{{}^{} f ( n ) _{}} k (단, n=4,5,6,⋯n = 4 , 5 , 6 , \cdots) 으로 정의할 때, ∑n=128an\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1 ^{}} ^{{}^{} 28 _{}} a _{n}의 값은? (단, 실수 xx에 대하여 [x]\left[ x \right]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

①204204②212212③220220④224224⑤252252

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⑤

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해설

an=∑k=1f(n)k=f(n){f(n)+1}2=[n4]([n4]+1)2\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{{k} = 1} ^{f(n)} k = \frac{f ( n ) \left\{ f ( n ) + 1 \right\}}{2} = \frac{\left[ \frac{n}{4} \right] \left( \left[ \frac{n}{4} \right] + 1 \right)}{2}이다. (ⅰ) 1≤n<41 \leq n < 4일 때, [n4]=0\displaystyle \left[ \frac{n}{4} \right] = 0이므로 an=0a _{n} = 0 (ⅱ) 4≤n<84 \leq n < 8일 때, [n4]=1\displaystyle \left[ \frac{n}{4} \right] = 1이므로 an=1a _{n} = 1 (ⅲ) 8≤n<128 \leq n < 12일 때, [n4]=2\displaystyle \left[ \frac{n}{4} \right] = 2이므로 an=3a _{n} = 3 (ⅳ) 12≤n<1612 \leq n < 16일 때, [n4]=3\displaystyle \left[ \frac{n}{4} \right] = 3이므로 an=6a _{n} = 6 (ⅴ) 16≤n<2016 \leq n < 20일 때, [n4]=4\displaystyle \left[ \frac{n}{4} \right] = 4이므로 an=10a _{n} = 10 (ⅵ) 20≤n<2420 \leq n < 24일 때, [n4]=5\displaystyle \left[ \frac{n}{4} \right] = 5이므로 an=15a _{n} = 15 (ⅶ) 24≤n<2824 \leq n < 28일 때, [n4]=6\displaystyle \left[ \frac{n}{4} \right] = 6이므로 an=21a _{n} = 21 (ⅷ) n=28n = 28일 때, [n4]=7\displaystyle \left[ \frac{n}{4} \right] = 7이므로 an=28a _{n} = 28

태그

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