가우스 기호 로그방정식 급수

$\displaystyle \log _{2} \left[ \frac{f ( x )}{\left[ f ( x ) \right]} \right] = 0$이므로 $\displaystyle \left[ \frac{f ( x )}{\left[ f ( x ) \right]} \right] = 1$이어야 한다. $\displaystyle \therefore 1 \leq \frac{f ( x )}{\left[ f ( x ) \right]} < 2$ 여기서, $\log _{2} x = k + \alpha$ (단, $k$는 정수, $0 \leq \alpha < 1$)라 두면 $\left[ f ( x ) \right] = k$ $\displaystyle \therefore 1 \leq \frac{k + \alpha}{k} = 1 + \frac{\alpha}{k} < 2 \rightarrow 0 \leq \frac{\alpha}{k} < 1$ 그런데, $0 < x < 1$이므로 $\log _{2} x = k + \alpha < 0$이다. $\therefore k < 0 ( \because \alpha \geq 0 )$이므로 $k < \alpha \leq 0$ $\therefore \alpha = 0$$( \because 0 \leq \alpha < 1 )$ $\alpha$가 0이므로 $f ( x ) = \log _{2} x = k$이므로 $x = 2 ^{k}$이다. (단, $k$은 음의정수) 이 때, $n = - k$라 치환하면 $n$은 자연수가 되며, $x$값은 $n$이 증가함에 따라 점점 감소한다. $\displaystyle \therefore a _{n} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}$ $\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$