가우스 기호 로그 방정식

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수 사이의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. $\log x$의 지표를 $n$, 가수를 $\alpha$($0 \leq \alpha < 1$)라 하면 $[ \log x ] = n$, $\log x - [ \log x ] = \alpha$ $[ \log x ] = 3 \left( \log x - [ \log x ] \right)$에서 $n = 3 \alpha$ $0 \leq 3 \alpha < 3$이고 $3 \alpha$는 정수이므로 $3 \alpha = 0$ 또는 $3 \alpha = 1$ 또는 $3 \alpha = 2$이다. ∴ $\alpha = 0$ 또는 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{3}$ 또는 $\displaystyle \alpha = \frac{2}{3}$ (ⅰ) $\alpha = 0$일 때, $\log x = 0$이므로 $x = 1$ (ⅱ) $\displaystyle \alpha = \frac{1}{3}$일 때, $\displaystyle \log x = \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle x = 10 ^{\frac{4}{3}}$ (ⅲ) $\displaystyle \alpha = \frac{2}{3}$일 때, $\displaystyle \log x = \frac{8}{3}$이므로 $\displaystyle x = 10 ^{\frac{8}{3}}$ 따라서 주어진 등식을 만족시키는 모든 양수 $x$의 값의 곱 $A$는 $A =$$10 ^{4}$이다. ∴ $10 \log A = 40$