가우스 기호 로그

$\left[ \log _{3} n \right] = 3$에서 $3 ^{3} \leq n < 3 ^{4}$이므로 $\left[ \log 2 n \right] = 1$ 또는 $\left[ \log 2 n \right] = 2$이다. (ⅰ) $\left[ \log 2 n \right] = 1$일 때 즉, $27 \leq n < 50$일 때 (나)에서 $\left[ 2 \log n \right] = 3$이므로 $3 \leq 2 \log n < 4$, $\displaystyle \frac{3}{2} \leq \log n < 2$ ∴ $\displaystyle \log 10 \sqrt{10} \leq \log n < \log 100$, $\displaystyle 10 \sqrt{10} \leq n < 100$ 따라서 주어진 조건을 만족시키는 $n$은 $32 \leq n < 50$이므로 자연수 $n$의 개수는 $18$이다. (ⅱ) $\left[ \log 2 n \right] = 2$일 때 즉, $50 \leq n < 81$일 때 (나)에서 $\left[ 2 \log n \right] = 4$이므로 $4 \leq 2 \log n < 5$, $\displaystyle 2 \leq \log n < \frac{5}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle \log 100 \leq \log n < \log 100 \sqrt{10}$, $\displaystyle 100 \leq n < 100 \sqrt{10}$ 따라서 만족시키는 $n$의 값은 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 자연수 $n$의 개수는 $18$이다. [다른풀이] $\left[ \log _{3} n \right] = 3$에서 $27 \leq n < 81$ … ㉠ ㉠에서 $27 \leq n < 32$일 때, $n ^{2}$은 세 자리의 정수이므로 $\left[ \log n ^{2} \right] = 2$이다. $32 \leq n < 81$일 때, $n ^{2}$은 네 자리의 정수이므로 $\left[ \log n ^{2} \right] = 3$이다. 또, $27 \leq n < 50$일 때, $2 n$은 두 자리의 정수이므로 $\left[ \log 2 n \right] = 1$이다. $50 \leq n < 81$일 때, $2 n$은 세 자리의 정수이므로 $\left[ \log 2 n \right] = 2$이다. 위에서 (나)를 만족시키는 $n$의 값의 범위는 $32 \leq n < 50$이다. 따라서 구하는 자연수 $n$의 개수는 $18$이다.