대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

가우스 기호 집합 원소 합

문제

자연수 nn에 대하여 집합 An={an∣[an]=1,a는자연수}\displaystyle A _{n} = \left\{ \frac{a}{n} \left| \left[ \frac{a}{n} \right] = 1 , a \text{는} \text{자연수} \right\} \right. 의 원소들의 총합을 SnS _{n}이라 할 때, ∑k=120Sk\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} S _{k}의 값은? (단, [x][ x ]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점] ①220220②255255③280280④305305⑤330330

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④

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해설

[출제의도] 등차수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. [an]=1\displaystyle \left[ \frac{a}{n} \right] = 1에서 AnA _{n}의 원소는 nn,n+1n,⋯ ,2n−1n\displaystyle \frac{n}{n} , \frac{n + 1}{n} , \cdots , \frac{2 n - 1}{n}이다. Pn=1n{n+(n+1)+⋯+(2n−1)}\displaystyle P _{n} = \frac{1}{n} \left\{ n + ( n + 1 ) + \cdots + ( 2 n - 1 ) \right\} =1n⋅n(n+2n−1)2\displaystyle = \frac{1}{n} \cdot \frac{n ( n + 2 n - 1 )}{2}=3n−12\displaystyle = \frac{3 n - 1}{2} ∑k=120Pk\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} P _{k}=∑k=1203k−12=12(3∑k=120k−20)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{20} \frac{3 k - 1}{2} = \frac{1}{2} \left( 3 \sum\limits _{k = 1} ^{20} k - 20 \right) =12(3⋅20⋅212−20)=305\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 3 \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} - 20 \right) = 305

태그

#가우스 기호#시그마

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