가우스 기호 방정식의 근의 개수

$x [ x ] + 187 = [ x ^{2} ] + [ x ]$에서 $[ x ^{2} ] + [ x ]$이 정수이므로 $x [ x ] + 187$도 정수이다. 즉, $x [ x ]$가 정수이다. $x = n + \alpha$($n$은 정수, $0 \leq \alpha < 1$)이라 할 때, $[ x ]$$= n$이므로 $x [ x ] = n ^{2} + \alpha n$ $\alpha n$이 정수이므로 $\alpha$는 분모가 $n$인 유리수로 나타낼 수 있다. 즉, $\displaystyle \alpha = \frac{k}{n}$ ($0 \leq k < n$)을 만족시키는 $k$가 존재한다. 따라서 $\displaystyle x = n + \frac{k}{n}$($0 \leq k < n$)이라 하면 $x [ x ] + 187 = [ x ^{2} ] + [ x ]$에서 $\displaystyle \left( n + \frac{k}{n} \right) n + 187 = \left[ n ^{2} + 2 k + \frac{k ^{2}}{n ^{2}} \right] + n$ $n + k = 187$ ⋯⋯ ㉠ 그런데 $0 \leq k < n$이므로 $n \leq 187 < 2 n$에서 $\displaystyle \frac{187}{2} < n \leq 187$ ⋯⋯ ㉡ $n$은 정수이므로 ㉠, ㉡에서 가능한 $( n , k )$의 순서쌍은 $187 - 93 = 94$이다. 따라서 주어진 방정식의 근의 개수는 $94$개다.