같은 위치에서 움직인 거리

[출제의도] 정적분을 활용하여 수직선 위의 점이 움직인 거리를 구한다. 원점에서 출발한 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t = k$에서의 위치는 $\displaystyle \int _{0} ^{k} {\left( 12 t - 12 \right)} dt$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 6 t ^{2} - 12 t \end{array} \right] _{0} ^{k}$$= 6 k ^{2} - 12 k$ 원점에서 출발한 점 $\mathrm{Q}$의 시각 $t = k$에서의 위치는 $\displaystyle \int _{0} ^{k} {\left( 3 t ^{2} + 2 t - 12 \right)} dt$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} + t ^{2} - 12 t \end{array} \right] _{0} ^{k}$$= k ^{3} + k ^{2} - 12 k$ 시각 $t = k$에서 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치가 같으므로 $6 k ^{2} - 12 k$$= k ^{3} + k ^{2} - 12 k$, $k ^{2} \left( k - 5 \right) = 0$ $k > 0$이므로 $k = 5$ 시각 $t = 0$에서 $t = 5$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{0} ^{5} {\left| 12 t - 12 \right|} dt$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {\left( 12 - 12 t \right)} dt + \int _{1} ^{5} {\left( 12 t - 12 \right)} dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 12 t - 6 t ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{1} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 6 t ^{2} - 12 t \end{array} \right] _{1} ^{5}$$= 102$