가수가 같은 로그

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. $\log x = 4 + \alpha ( 0 \leq \alpha < 1 )$라 하면 $\displaystyle \log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x = \frac{4}{3} + \frac{\alpha}{3}$$\displaystyle = 1 + \frac{1}{3} + \frac{\alpha}{3}$ $\displaystyle 0 \leq \frac{\alpha}{3} < \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle \log \sqrt[3]{x}$의 가수는 $\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{\alpha}{3}$이다. $\log x$와 $\displaystyle \log \sqrt[3]{x}$의 가수가 같으므로 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{3} + \frac{\alpha}{3}$에서 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \therefore \log x = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ 따라서 $p = 2$, $q = 9$이므로 $p + q = 11$