가수가 같은 조건

[출제의도] 상용로그 지표와 가수의 성질 활용하기 $\log _{10} x = 1 + \alpha$(단, $0 \leq \alpha < 1$)라고 하면 $\log _{10} x ^{2} = 2 + 2 \alpha$, $\displaystyle \log _{10} \frac{1}{x ^{2}} = - 2 - 2 \alpha$ $0 \leq 2 \alpha < 2$이므로 $\alpha$의 범위를 나누면 $\left( 1 \right)$ $\alpha = 0$ 일 때 $\log _{10} x = 1$ ∴ $x = 10$ $\left( 2 \right)$ $\displaystyle 0 < \alpha < \frac{1}{2}$일 때 $\log _{10} x ^{2} = 2 + 2 \alpha$, $\displaystyle \log _{10} \frac{1}{x ^{2}} = - 3 + 1 - 2 \alpha$ $2 \alpha = 1 - 2 \alpha$, $\displaystyle \alpha = \frac{1}{4}$ ∴ $\displaystyle x = 10 ^{1 + \frac{1}{4}}$ $\left( 3 \right)$ $\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}$ 일 때, $\log _{10} x ^{2} = 3$, $\displaystyle \log _{10} \frac{1}{x ^{2}} = - 3$ ∴ $\displaystyle x = 10 ^{1 + \frac{1}{2}}$ $\left( 4 \right)$ $\displaystyle \frac{1}{2} < \alpha < 1$일 때, $\log _{10} x ^{2} = 3 + 2 \alpha - 1$, $\displaystyle \log _{10} \frac{1}{x ^{2}} = - 4 + 2 - 2 \alpha$ $2 \alpha - 1 = 2 - 2 \alpha$, $\displaystyle \alpha = \frac{3}{4}$ ∴ $\displaystyle x = 10 ^{1 + \frac{3}{4}}$ 그러므로 $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$, $\left( 4 \right)$에서 가능한 $x$의 값은 모두 $4$개이고, 그 곱은 $\displaystyle 10 ^{\frac{11}{2}}$이므로 $2 \alpha = 11$ (별해) $\log _{10} x$의 지표가 $1$이므로 $1 \leq \log _{10} x < 2$ $\log _{10} x ^{2}$과 $\displaystyle \log _{10} \frac{1}{x ^{2}}$의 가수가 같으므로 $\displaystyle \log _{10} x ^{2} - \log _{10} \frac{1}{x ^{2}} = 4 \log _{10} x$는 정수가 된다. $4 \leq 4 \log _{10} x < 8$ 이므로 $4 \log _{10} x = 4$, $5$, $6$, $7$ ∴ $x = 10$, $\displaystyle 10 ^{1 + \frac{1}{4}}$, $\displaystyle 10 ^{1 + \frac{1}{2}}$, $\displaystyle 10 ^{1 + \frac{3}{4}}$ $x$의 값들의 곱은 $\displaystyle 10 ^{\frac{11}{2}}$ 이므로 $2 \alpha = 11$