대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

가수 조건과 ab 최댓값

문제

$\log a ^{3}$ 의 가수와 $\log b ^{5}$ 의 가수가 모두 $0$ 이 되도록 하는 양의 실수 $a$ , $b$ ( $1 < a < 10$ , $1 < b < 10$ )에 대하여 $ab$ 의 최대값이 $\displaystyle 10 ^{\frac{q}{p}}$ 일 때, $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

$\log a ^{3}$ 의 가수가 0이면 $\log a ^{3} = k$ ( $k$ 는 정수)이므로 $a ^{3} = 10 ^{k}$ 이다. ∴ $\displaystyle a = 10 ^{\frac{k}{3}}$ 이 때, $1 < a < 10$ 이므로 정수 $k$ 의 최대값은 2이다. 마찬가지로 $b ^{5} = 10 ^{n}$ ( $n$ 은 정수)이므로 $\displaystyle b = 10 ^{\frac{n}{5}}$ 이 때, $1 < b < 10$ 이므로 정수 $n$ 의 최대값은 4이다. 따라서 $\displaystyle a b = 10 ^{\frac{k}{3} + \frac{n}{5}}$ 의 최대값은 $\displaystyle 10 ^{\frac{2}{3} + \frac{4}{5}} = 10 ^{\frac{22}{15}}$ ∴ $p + q = 15 + 22 = 37$

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