대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

가수 조건

문제

1<a<101 < a < 10인 aa에 대하여 log⁡10a3\log _{10} a ^{3}의 가수와 log⁡10a\displaystyle \log _{10} \sqrt{a}의 가수의 합이 11이 될 때, 모든 aa의 값의 곱을 10qp\displaystyle 10 ^{\frac{q}{p}}이라 하자. 이 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, p,qp , q는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

1<a<101 < a < 10에서 log⁡10a=α(0<α<1)\log _{10} a = \alpha ( 0 < \alpha < 1 )이다. log⁡10a3\log _{10} a ^{3}과 log⁡10a\displaystyle \log _{10} \sqrt{a}의 가수의 합이 11이므로 3α+12α=72α\displaystyle 3 \alpha + \frac{1}{2} \alpha = \frac{7}{2} \alpha는 정수이다. α=27\displaystyle \alpha = \frac{2}{7},α=47\displaystyle \alpha = \frac{4}{7}, α=67\displaystyle \alpha = \frac{6}{7}이므로 aa의 곱은 1027⋅1047⋅1067=\displaystyle 10 ^{\frac{2}{7}} \cdot 10 ^{\frac{4}{7}} \cdot 10 ^{\frac{6}{7}} =1027+47+67\displaystyle 10 ^{\frac{2}{7} + \frac{4}{7} + \frac{6}{7}}=10127\displaystyle = 10 ^{\frac{12}{7}} ∴7+12=19\therefore 7 + 12 = 19

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