미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

가수 같은 등비급수

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) log⁡an\log a _{n}의 가수와 log⁡an+1\log a _{n+1}의 가수는 서로 같다. (나) 1<anan+1<100\displaystyle 1 < \frac{a _{n}}{a _{n+1}} < 100

∑n=1∞an=500\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} = 500일 때, a1a _{1}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

log⁡an\log a _{n}의 가수가 log⁡an+1\log a _{n+1}의 가수와 같으므로 log⁡an−log⁡an+1\log a _{n} - \log a _{n+1}은 정수이다. 1<anan+1<100\displaystyle 1 < \frac{a _{n}}{a _{n+1}} < 100 양변에 log⁡\log를 취하면 0<log⁡an−log⁡an+1<20 < \log a _{n} - \log a _{n+1} < 2이므로 log⁡an−log⁡an+1=1\log a _{n} - \log a _{n+1} = 1이다. ∴ an+1=110an\displaystyle a _{n+1} = \frac{1}{10} a _{n} 따라서, {an}\left\{ a _{n} \right\}은 초항이 a1a _{1}이고 공비가 110\displaystyle \frac{1}{10}인 등비수열이므로 ∑n=1∞an=a11−110=500\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} = \frac{a _{1}}{1 - \frac{1}{10}} = 500이므로 a1=450a _{1} = 450

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