가수 방정식 실근

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 방정식의 해의 개수를 구한다. 양수 $x$에 대하여 $\log x$의 가수가 $f ( x )$이므로 $f ( x ) = \log 3$에서 $\log x$의 가수는 $\log 3$이다. 따라서 $\log x = n + \log 3$ ($n$은 정수) …… ㉠ $\displaystyle \frac{1}{100} \leq x \leq 100$일 때, $- 2 \leq \log x \leq 2$ 이것을 ㉠에 대입하면 $- 2 \leq n + \log 3 \leq 2$ $- 2 - \log 3 \leq n \leq 2 - \log 3$ $0 < \log 3 < 1$이므로 $- 3 < n < 2$ ∴ $n = - 2$, $- 1$, $0$, $1$ 따라서 구하는 $x$의 개수는 $4$이다. [참고] $x$의 값을 구하면 다음과 같다. (ⅰ) $n = - 2$일 때 $\log x = - 2 + \log 3$, $\log x = \log \left( 3 \times 10 ^{- 2} \right)$ $\displaystyle x = 3 \times 10 ^{- 2} = \frac{3}{100}$ (ⅱ) $n = - 1$일 때 $\log x = - 1 + \log 3$, $\log x = \log \left( 3 \times 10 ^{- 1} \right)$ $\displaystyle x = 3 \times 10 ^{- 1} = \frac{3}{10}$ (ⅲ) $n = 0$일 때 $\log x = \log 3$ $x = 3$ (ⅳ) $n = 1$일 때 $\log x = 1 + \log 3$ $x = 30$ 따라서 구하는 $x$는 $\displaystyle \frac{3}{100}$, $\displaystyle \frac{3}{10}$, $3$, $30$이다.