가수 2배 조건 자연수

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. $100 \leq A < 1000$, $900 < B < 1000$이고, $\log B$의 가수가 $\log A$의 가수의 $2$배이므로 $\log A = 2 + \alpha$, $\displaystyle \log B = 2 + 2 \alpha \left( 0 \leq \alpha < \frac{1}{2} \right)$ $\displaystyle 2 \log A - \log B = \log \frac{A ^{2}}{B} = 2$ 이므로 $\displaystyle \frac{A ^{2}}{B} = 100$ ∴ $100 B = A ^{2}$ $A$는 $10$의 배수이므로 $A = 10 C$ ($C$는 자연수)라 하면 $100 B = ( 10 C ) ^{2} = 100 C ^{2}$ ∴ $B = C ^{2}$ 따라서 $B$는 $900$보다 큰 세 자리의 수이면서 완전제곱수이다. $30 ^{2} = 900 , 31 ^{2} = 961 , 32 ^{2} = 1024$이므로 $B = 31 ^{2}$, $A ^{2} = 100 B = 10 ^{2} \cdot 31 ^{2} = ( 310 ) ^{2}$ ∴ $A = 310$